• مسئله

مطابق شکل به طنابی نیرویی ثابت وارد می شود. سرعت انتشار موج را بیابید. چگالی خطی طناب معلوم است.

  • جواب

می دانیم که در این حالت ذرات طناب تنها در راستای قائم در حال حرکت هستند و در راستای امتداد طناب حرکتی ندارند. پس در این مسئله قرار است نشان دهیم که شرایط ذره با چه سرعتی منتقل می شود. برای مثال زمانی که یک ذره از طناب در قله موج قرار دارد را در نظر می گیریم و نشان می دهیم در چند ثانیه بعد شرایط قله موج بودن برای کدام ذره اتفاق می افتد.

برای شروع یک المان بسیار کوچک طناب را نزدیک قله موج در نظر می گیریم و برای راستای افقی و عمودی آن قانون دوم نیوتون را می نویسیم.در راستای x شتابی نداریم ولی در راستای y با توجه به شرایط مکانی المان، شتابی را در نظر می گیریم. پس برای راستای x داریم:

دقت کنید. از آنجایی که شتاب افقی صفر است پس مولفه x نیرو برابر با مقدار ثابتی (T) هستند. حال برای مولفه عمودی سرعت معادلات را می نویسیم:

(در اینجا علامت    نشان دهنده چگالی خطی طناب است) تابع y بر اساس زمان و x تغییر میکند. به همین علت از مشتق جزئی استفاده می کنیم. با تقسیم مقدار ثابت T بدست آمده داریم:

با توجه به هندسه تانژانت را به مشتق تابع در آن نقطه تبدیل میکنیم و نهایتا با توجه به کوچک بودن مقادیر و تعریف مشتق داریم:

و نهایتا با اندکی ساده کردن روایط داریم:

با توجه به آنچه بدست آوردیم می فهمیم که تابع (y(t,x  لزوما شکل خاصی ندارد و در حالت کلی تر این یک معادله موج نامیده میشود و فقط در رابطه زیر باید صدق کند.

این رابطه از تعمیم آنچه گفتیم بدست می آید و یکی از جواب های آن می تواند مشابه شکل زیر باشد. (علامت دلتا وارونه به توان 2 (!) عملگر لاپلاس است)

*منبع شکل ها: کتاب فیزیک موج نتل